Binomio por trinomio especial

Binomio por trinomio especial

Productos especiales de binomios

Algunos productos de binomios tienen formas especiales. Cuando un binomio se eleva al cuadrado, el resultado se llama trinomio cuadrado perfecto. Podemos encontrar el cuadrado multiplicando el binomio por sí mismo. Sin embargo, cada uno de estos trinomios cuadrados perfectos tiene una forma especial, y memorizar la forma hace que elevar al cuadrado los binomios sea mucho más fácil y rápido. Veamos algunos trinomios cuadrados perfectos para familiarizarnos con la forma.
[latex]|array}{ccc}{hill} {texto}{izquierda(x+5\ derecha)}^{{2}& =& {texto}^{2}+10x+25\hill \hill {{izquierda(x – 3\\N-derecha)}^{2}& =& \text{{x}^{2}-6x+9\hfill \hfill {{Izquierda(4x – 1\N-derecha)}^{2}& =& 4{x}^2}-8x+1\hfill \end{array}[/latex]
Observa que el primer término de cada trinomio es el cuadrado del primer término del binomio y, análogamente, el último término de cada trinomio es el cuadrado del último término del binomio. El término medio es el doble del producto de los dos términos. Por último, vemos que el primer signo del trinomio es el mismo que el del binomio.

Ejemplos de productos especiales

La estrategia para la factorización que desarrollamos en la última sección te guiará mientras factorizas la mayoría de los binomios, trinomios y polinomios con más de tres términos. Hemos visto que algunos binomios y trinomios resultan de productos especiales -cuadrando binomios y multiplicando conjugados. Si aprendes a reconocer estos tipos de polinomios, puedes utilizar los patrones de productos especiales para factorizarlos mucho más rápidamente.
Algunos trinomios son cuadrados perfectos. Resultan de multiplicar un binomio por sí mismo. Puedes elevar al cuadrado un binomio usando FOIL, pero usar el patrón de cuadrados de binomios que viste en un capítulo anterior te ahorra un paso. Repasemos el patrón de los cuadrados binomiales elevando al cuadrado un binomio usando FOIL.
Cuando elevas al cuadrado un binomio, el producto es un trinomio cuadrado perfecto. En este capítulo, estás aprendiendo a factorizar – ahora, empezarás con un trinomio cuadrado perfecto y lo factorizarás en sus factores primos.
Podrías factorizar este trinomio utilizando los métodos descritos en la última sección, ya que es de la forma ax2 + bx + c. Pero si reconoces que el primer y el último término son cuadrados y el trinomio se ajusta al patrón de los trinomios cuadrados perfectos, te ahorrarás mucho trabajo.

Producto especial de binomios y trinomios

La estrategia para la factorización que desarrollamos en la última sección te guiará mientras factorizas la mayoría de los binomios, trinomios y polinomios con más de tres términos. Hemos visto que algunos binomios y trinomios resultan de productos especiales -cuadrando binomios y multiplicando conjugados-. Si aprendes a reconocer estos tipos de polinomios, puedes utilizar los patrones de productos especiales para factorizarlos mucho más rápidamente.
Algunos trinomios son cuadrados perfectos. Resultan de multiplicar un binomio por sí mismo. Puedes elevar al cuadrado un binomio usando FOIL, pero usar el patrón de cuadrados de binomios que viste en un capítulo anterior te ahorra un paso. Repasemos el patrón de los cuadrados binomiales elevando al cuadrado un binomio usando FOIL.
Cuando elevas al cuadrado un binomio, el producto es un trinomio cuadrado perfecto. En este capítulo, estás aprendiendo a factorizar – ahora, empezarás con un trinomio cuadrado perfecto y lo factorizarás en sus factores primos.
Podrías factorizar este trinomio utilizando los métodos descritos en la última sección, ya que es de la forma \(ax^{2}+bx+c\). Pero si reconoces que el primer y el último término son cuadrados y el trinomio se ajusta al patrón de los trinomios cuadrados perfectos, te ahorrarás mucho trabajo.

Multiplicar un binomio por un trinomio

Hay ciertas multiplicaciones de binomios que aparecen una y otra vez en los problemas y en los exámenes. Si recuerdas los patrones, podrás llegar rápidamente a estos productos y ahorrarte algo de trabajo. Pero no te preocupes. Si no recuerdas estos patrones, siempre puedes multiplicar los binomios para obtener la respuesta.
En cada patrón, el término medio es el doble de la multiplicación de los términos utilizados para crear la expresión binomial. Observa que el signo del término medio es positivo en (a + b)², y negativo en (a – b)².
Al elevar al cuadrado un binomio se crea un trinomio cuadrado perfecto. Un cuadrado perfecto se crea cuando un valor se multiplica por sí mismo [como 5 x 5 = 25, lo que hace que 25 sea un cuadrado perfecto]. Así, (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b², lo que hace que el trinomio a² + 2ab + b² sea un cuadrado perfecto.