Bisectriz de un triangulo definicion
Longitud de la bisectriz del ángulo
En geometría, la bisección es la división de algo en dos partes iguales o congruentes, normalmente mediante una línea, que se denomina bisectriz. Los tipos de bisectrices más considerados son la bisectriz del segmento (línea que pasa por el punto medio de un segmento dado) y la bisectriz del ángulo (línea que pasa por el vértice de un ángulo, que lo divide en dos ángulos iguales).
La bisectriz interior o interna de un ángulo es la línea, semirrecta o segmento de línea que divide un ángulo de menos de 180° en dos ángulos iguales. La bisectriz exterior o externa es la línea que divide el ángulo suplementario (de 180° menos el ángulo original), formado por un lado que forma el ángulo original y la extensión del otro lado, en dos ángulos iguales[1].
Para bisecar un ángulo con regla y compás, se traza una circunferencia cuyo centro es el vértice. El círculo se encuentra con el ángulo en dos puntos: uno en cada lado. Utilizando cada uno de estos puntos como centro, se dibujan dos circunferencias del mismo tamaño. La intersección de los círculos (dos puntos) determina una línea que es la bisectriz del ángulo.
Fórmula de la bisectriz del ángulo
El circuncentro se encuentra dentro del triángulo para los triángulos agudos, en la hipotenusa para los triángulos rectos y se encuentra fuera del triángulo para los triángulos obtusos. El circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa si se trata de un triángulo rectángulo isósceles.
Las casas de Natha, Hiren y Joe representan tres puntos no colineales en un plano de coordenadas. Si quieren reunirse en un lugar común de forma que cada uno tenga que recorrer la misma distancia desde sus casas, ¿cómo decidirás el punto de encuentro?
Ahora bien, si consideras el circuncentro del triángulo, éste será equidistante de los vértices. Es decir, si se elige como punto de encuentro el circuncentro del triángulo formado por las tres casas, entonces cada uno tendrá que recorrer la misma distancia desde su casa.
La piscina circular más grande posible tendría el mismo tamaño que el círculo más grande que puede inscribirse en el patio triangular. El círculo más grande que puede inscribirse en un triángulo es el incirculo. Esto se puede determinar encontrando el punto de concurrencia de las bisectrices de los ángulos de cada esquina del patio trasero y luego haciendo un círculo con este punto como centro y la distancia más corta desde este punto hasta el límite como radio.
Teorema de la bisectriz del ángulo
En geometría, el teorema de la bisectriz del ángulo se refiere a las longitudes relativas de los dos segmentos en que se divide el lado de un triángulo por una línea que biseca el ángulo opuesto. Equipara sus longitudes relativas a las longitudes relativas de los otros dos lados del triángulo.
Consideremos un triángulo ABC. Sea la bisectriz del ángulo A la intersección del lado BC en un punto D entre B y C. El teorema de la bisectriz del ángulo establece que la relación entre la longitud del segmento de línea BD y la longitud del segmento CD es igual a la relación entre la longitud del lado AB y la longitud del lado AC:
Sea B1 la base (pie) de la altura del triángulo ABD por B y sea C1 la base de la altura del triángulo ACD por C. Entonces, si D está estrictamente entre B y C, una y sólo una de B1 o C1 está dentro del triángulo ABC y se puede suponer sin pérdida de generalidad que B1 lo está. Este caso se representa en el diagrama adyacente. Si D está fuera del segmento BC, entonces ni B1 ni C1 están dentro del triángulo.
Definición de bisectriz de un triángulo
Una bisectriz de un ángulo corta un ángulo exactamente por la mitad. Una propiedad importante de las bisectrices de ángulos es que si un punto está en la bisectriz de un ángulo, entonces el punto es equidistante de los lados del ángulo. Esto se llama el Teorema de la Bisectriz del Ángulo.
Si \(Y\) está en la bisectriz del ángulo, entonces \(XY=YZ\) y ambos segmentos tienen que ser perpendiculares a los lados del ángulo. A partir de las marcas sabemos que \(\sobrelínea{XY}\perp \sobreflecha{WX}\) y \(\sobrelínea{ZY}\perp \sobreflecha{WZ}\). En segundo lugar, \ (XY=YZ=6\). Así que, sí, \ Y\ es en la bisectriz del ángulo de \ (\ ángulo XWZ\).