Concavidad de la parabola

Concavidad de la parabola

Concavidad de una función

La segunda derivada de una función también puede utilizarse para determinar la forma general de su gráfica en intervalos seleccionados. Se dice que una función es cóncava hacia arriba en un intervalo si f″(x) > 0 en cada punto del intervalo y cóncava hacia abajo en un intervalo si f″(x) < 0 en cada punto del intervalo. Si una función pasa de ser cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa alrededor de un punto, éste se denomina punto de inflexión de la función.
Para determinar los intervalos en los que una función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, primero se encuentran los valores del dominio donde f″(x) = 0 o f″(x) no existe. A continuación, pruebe todos los intervalos alrededor de estos valores en la segunda derivada de la función. Si f″(x) cambia de signo, entonces ( x, f(x)) es un punto de inflexión de la función. Al igual que con la prueba de la primera derivada para los extremos locales, no hay garantía de que la segunda derivada cambie de signo y, por tanto, es esencial probar cada intervalo alrededor de los valores para los que f″(x) = 0 o no existe.
Geométricamente, una función es cóncava hacia arriba en un intervalo si su gráfica se comporta como una porción de parábola que se abre hacia arriba. Del mismo modo, una función que es cóncava hacia abajo en un intervalo se parece a una porción de una parábola que se abre hacia abajo. Si la gráfica de una función es lineal en algún intervalo de su dominio, su segunda derivada será cero, y se dice que no tiene concavidad en ese intervalo.

Cuando una gráfica es cóncava por la segunda derivada

Consideremos una parábola Si , entonces para muy grande obtenemos análoga para negativa con módulo grande. Por lo tanto, si ,entonces la parábola es abierta (cóncava) hacia arriba. En nuestro ejemplo la parábola es cóncava hacia arriba. Ahora vamos a determinar el vértice. La coordenada x del vértice es La segunda coordenada se puede calcular como A continuación obtenemos el punto de intersección de la parábola y el eje y. Es el punto o A continuación vamos a determinar los puntos de intersección de la parábola y el eje x. Debemos resolver una ecuación Por lo tanto, las raíces de la ecuación son

Cómo encontrar cóncavos hacia arriba y hacia abajo

Aunque las funciones lineales son muy fáciles de trabajar, sólo son aplicables si nuestra función tiene una tasa de cambio constante (o casi constante). ¿Qué ocurre si nuestra función no tiene una tasa de cambio constante? Por ejemplo, si invertimos dinero en una cuenta que devenga intereses, es de esperar que la cantidad que ganamos en intereses suba cada año porque los intereses se calculan sobre una cantidad mayor, por lo que no tenemos una tasa de cambio constante. ¿Y si queremos modelar el precio medio de la vivienda en los últimos años? Los precios subieron, pero luego volvieron a bajar. Esto no sería captado por un modelo lineal.
En esta sección vamos a empezar a discutir funciones y modelos polinómicos de orden superior. Esta sección se centrará especialmente en las funciones cuadráticas. Las funciones lineales son un polinomio de primer orden, los órdenes superiores tienen la capacidad de tratar con una tasa de cambio cambiante. Al igual que con las lineales, podemos hacer regresión con polinomios de orden superior. Echemos un vistazo a una situación en la que la lineal puede no funcionar tan bien y veamos qué podemos hacer.

Cómo determinar la concavidad de una parábola

Explicación: Esta pregunta nos pide que examinemos la concavidad de la función . Tendremos que encontrar la segunda derivada para determinar dónde es cóncava la función hacia arriba y hacia abajo. Siempre que su segunda derivada es positiva, una función es cóncava hacia arriba.
Empecemos por encontrar la primera derivada de f(x). Tendremos que utilizar la regla del producto. Según la regla del producto, si , entonces . En este problema concreto, dejemos que y . Aplicando la regla del producto, obtenemos
Para evaluar la derivada de , necesitaremos invocar la Regla de la Cadena. Según la regla de la cadena, la derivada de una función en la forma viene dada por . Para hallar la derivada de , dejaremos que y .
Para resolver esta desigualdad, podemos dividir ambos lados por . Observa que siempre es positivo (porque e elevado a cualquier potencia será positivo); esto significa que cuando dividamos ambos lados de la desigualdad por , no tendremos que invertir el signo. (Si dividimos una desigualdad por una cantidad negativa, el signo se invierte).