Ejemplo de binomios conjugados

Ejemplo de binomios conjugados

Conjugado de raíz cuadrada

Sin embargo, sigo sin entender por qué está justificado utilizar el término “conjugado” cuando simplemente cambiamos el signo en un binomio. ¿Es realmente necesario dar nombres a todo? ¿Es suficiente una similitud formal para utilizar la misma expresión como nombre? En los dos ejemplos anteriores la similitud es más que formal. Los dos tipos de conjugación tienen propiedades similares (ya que ambos son casos especiales de una teoría general). Sin embargo, no veo cómo cambiar el signo en un binomio sin ninguna restricción en los términos del binomio encaja en esta teoría general.
Sin embargo, existe el peligro de utilizar algo sin entenderlo. Si intentamos extender ingenuamente esta idea de la conjugación a otros números como $1+\sqrt[3]{7} \mapsto 1-\sqrt[3]{7}$ entonces encontraremos que el esquema de racionalización anterior se cae:
Calcular lo mismo usando conjugados de Galois es más difícil ya que el campo de división de $x^3-17$ tiene más de una conjugación y esencialmente hay que multiplicar por el producto de todos los conjugados de Galois para producir un entero.

Ejemplos de conjugación

Elevar al cuadrado un binomio utilizando el patrón de los cuadrados del binomioA los matemáticos les gusta buscar patrones que les faciliten el trabajo. Un buen ejemplo de ello es elevar al cuadrado los binomios. Aunque siempre puedes obtener el producto escribiendo el binomio dos veces y usando los métodos de la última sección, hay menos trabajo que hacer si aprendes a usar un patrón.
Multiplicar Conjugados Usando el Patrón del Producto de ConjugadosAcabamos de ver un patrón para elevar al cuadrado binomios que podemos usar para hacer más fácil la multiplicación de algunos binomios. Del mismo modo, existe un patrón para otro producto de binomios. Pero antes de llegar a él, tenemos que introducir algo de vocabulario.
Un par de binomios que tienen cada uno el mismo primer término y el mismo último término, pero uno es una suma y otro una diferencia, tiene un nombre especial. Se llama par conjugado y es de la forma (a-b),(a+b)(a-b),(a+b).
Acabamos de desarrollar patrones de productos especiales para los cuadrados binomiales y para el producto de conjugados. Los productos se parecen, así que es importante reconocer cuándo es apropiado utilizar cada uno de estos patrones y notar en qué se diferencian. Mira los dos patrones juntos y observa sus similitudes y diferencias.

Significado del conjugado

El conjugado de un binomio es la misma expresión pero con el signo contrario en el 2º término. Por ejemplo: #(a+b)# y #(a-b)# son conjugados. Esto es útil cuando tenemos una fracción con un binomio radical (o imaginario) como denominador, y deseamos “racionalizarla” para eliminarlo.
Para cualquier número complejo #a+bi#, el conjugado complejo es #a-bi#. De nuevo, es el mismo binomio con la parte imaginaria negada. Cuando multiplicamos un número complejo #a+bi# por su conjugado #a-bi#, el resultado (por FOIL-ing) es
El truco rápido para encontrar el producto de un número complejo y su conjugado: eleva al cuadrado cada coeficiente, y luego suma los cuadrados. Ese será tu resultado. (En realidad, eso es lo que se desprende de la fórmula general anterior).

Qué es el conjugado

Sin embargo, sigo sin entender por qué está justificado utilizar el término “conjugado” cuando simplemente cambiamos el signo en un binomio. ¿Es realmente necesario dar nombres a todo? ¿Es suficiente una similitud formal para utilizar la misma expresión como nombre? En los dos ejemplos anteriores la similitud es más que formal. Los dos tipos de conjugación tienen propiedades similares (ya que ambos son casos especiales de una teoría general). Sin embargo, no veo cómo cambiar el signo en un binomio sin ninguna restricción en los términos del binomio encaja en esta teoría general.
Sin embargo, existe el peligro de utilizar algo sin entenderlo. Si intentamos extender ingenuamente esta idea de la conjugación a otros números como $1+\sqrt[3]{7} \mapsto 1-\sqrt[3]{7}$ entonces encontraremos que el esquema de racionalización anterior se cae:
Calcular lo mismo usando conjugados de Galois es más difícil ya que el campo de división de $x^3-17$ tiene más de una conjugación y esencialmente hay que multiplicar por el producto de todos los conjugados de Galois para producir un entero.