La recta en el sistema cartesiano

La recta en el sistema cartesiano

Ecuación de la línea en 3d cartesiana

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Un sistema de coordenadas cartesianas (Reino Unido: /kɑːˈtiːzjən/, Estados Unidos: /kɑːrˈtiʒən/) en un plano es un sistema de coordenadas que especifica cada punto de forma única mediante un par de coordenadas numéricas, que son las distancias con signo al punto desde dos líneas fijas orientadas perpendicularmente, medidas en la misma unidad de longitud. Cada línea de referencia se denomina eje de coordenadas o simplemente eje (ejes en plural) del sistema, y el punto donde se encuentran es su origen, en el par ordenado (0, 0). Las coordenadas también pueden definirse como las posiciones de las proyecciones perpendiculares del punto sobre los dos ejes, expresadas como distancias con signo desde el origen.
Se puede utilizar el mismo principio para especificar la posición de cualquier punto en el espacio tridimensional mediante tres coordenadas cartesianas, sus distancias con signo a tres planos mutuamente perpendiculares (o, equivalentemente, mediante su proyección perpendicular sobre tres líneas mutuamente perpendiculares). En general, n coordenadas cartesianas (un elemento del espacio real n) especifican el punto en un espacio euclidiano de n dimensiones para cualquier dimensión n. Estas coordenadas son iguales, hasta el signo, a las distancias del punto a n hiperplanos mutuamente perpendiculares.

Geometría de coordenadas: problemas de líneas rectas

Estoy tratando de crear una línea recta en el espacio cartesiano a partir de dos puntos que tienen coordenadas (x,y,z). Esto es para hacer que un brazo robótico se mueva en línea recta, yo introduciría dos puntos y las matemáticas me devolverían un cierto número de puntos que crean una línea recta desde el punto A al punto B. El brazo robótico se mueve sobre una base circular.
La ecuación que has dado, $ax+by+c=0$, es la ecuación de una línea en dos dimensiones. En tres dimensiones, puedes definir una línea por un punto y un vector. Esto no está en contradicción con la idea de que dos puntos determinan una recta, ya que obviamente hay un vector entre dos puntos y, por lo tanto, al especificar dos puntos también has especificado un punto y un vector. Todo esto es probablemente demasiado pedante para que merezca la pena seguir discutiendo, así que pasemos al ejemplo útil concreto.
Desgraciadamente, no creo que este tipo de ecuaciones te sirvan para tu proyecto de robot, pero quizá la discusión genere algunas buenas ideas. Puedes echar un vistazo a los Apuntes en línea de Paul para ver más discusiones sobre cómo se representan las líneas en tres dimensiones. Él no sigue exactamente el mismo enfoque que he esbozado aquí, pero es muy similar.

Definición de línea recta

El plano numérico (plano cartesiano) está dividido en cuatro cuadrantes por dos ejes perpendiculares llamados eje x (línea horizontal) y eje y (línea vertical). Estos ejes se cruzan en un punto llamado origen. La posición de cualquier punto en el plano puede representarse mediante un par ordenado de números (x, y). Estos pares ordenados se denominan coordenadas del punto.
También discutiremos las propiedades necesarias y suficientes para definir una recta. Los puntos aquí representados se pueden generar a partir de la regla y = x + 1. El gradiente es 1, la intercepción del eje x tiene coordenadas (-1, 0) y la intercepción del eje y tiene coordenadas (0, 1).
Muchas situaciones pueden modelizarse mediante un conjunto de puntos que se encuentran en una línea recta. Aquí se ofrecen dos ejemplos. Uno es un gráfico de conversión de divisas que nos permite convertir fácilmente sumas de dinero de dólares estadounidenses a dólares australianos, y el segundo un gráfico del coste de producción en el que hay un coste fijo más un coste fijo por artículo. Por ejemplo, el coste de una fiesta es de 500 dólares por el alquiler del salón y 30 dólares por invitado (n).

Una línea recta en un plano de coordenadas siempre representa una función

En geometría, la noción de línea o recta fue introducida por los matemáticos antiguos para representar objetos rectos (es decir, sin curvatura) con anchura y profundidad despreciables. Las líneas son una idealización de tales objetos, que a menudo se describen en términos de dos puntos (p. ej,
Hasta el siglo XVII, las líneas se definían como la «primera especie de cantidad, que sólo tiene una dimensión, la longitud, sin anchura ni profundidad, y no es otra cosa que el flujo o recorrido del punto que dejará de su movimiento imaginario algún vestigio en longitud, exento de toda anchura. La línea recta es la que se extiende igualmente entre sus puntos»[3].
Euclides describió una línea como «longitud exenta de anchura» que «se extiende igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma»; introdujo varios postulados como propiedades básicas indemostrables a partir de las cuales construyó toda la geometría, que ahora se llama geometría euclidiana para evitar la confusión con otras geometrías que se han introducido desde finales del siglo XIX (como la geometría no euclidiana, proyectiva y afín).