Pi es un numero racional

Pi es un numero racional

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En la década de 1760, Johann Heinrich Lambert demostró que el número π (pi) es irracional: es decir, no puede expresarse como una fracción a/b, donde a es un número entero y b es un número entero distinto de cero. En el siglo XIX, Charles Hermite encontró una prueba que no requiere conocimientos previos más allá del cálculo básico. Tres simplificaciones de la prueba de Hermite se deben a Mary Cartwright, Ivan Niven y Nicolas Bourbaki. Otra prueba, que es una simplificación de la prueba de Lambert, se debe a Miklós Laczkovich.
Escaneo de la fórmula en la página 288 de las «Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques» de Lambert, Mémoires de l’Académie royale des sciences de Berlin (1768), 265-322.
Entonces Lambert demostró que si x es distinta de cero y racional, esta expresión debe ser irracional. Como tan(π/4) = 1, se deduce que π/4 es irracional y, por tanto, π también es irracional[2] A continuación se ofrece una simplificación de la prueba de Lambert.
Escrita en 1873, esta prueba utiliza la caracterización de π como el menor número positivo cuya mitad es un cero de la función coseno y en realidad demuestra que π2 es irracional[3][4] Como en muchas pruebas de irracionalidad, es una prueba por contradicción.

Número racional

En la década de 1760, Johann Heinrich Lambert demostró que el número π (pi) es irracional: es decir, no puede expresarse como una fracción a/b, donde a es un número entero y b es un número entero distinto de cero. En el siglo XIX, Charles Hermite encontró una prueba que no requiere conocimientos previos más allá del cálculo básico. Tres simplificaciones de la prueba de Hermite se deben a Mary Cartwright, Ivan Niven y Nicolas Bourbaki. Otra prueba, que es una simplificación de la prueba de Lambert, se debe a Miklós Laczkovich.
Escaneo de la fórmula en la página 288 de las «Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques» de Lambert, Mémoires de l’Académie royale des sciences de Berlin (1768), 265-322.
Entonces Lambert demostró que si x es distinta de cero y racional, esta expresión debe ser irracional. Como tan(π/4) = 1, se deduce que π/4 es irracional y, por tanto, π también es irracional[2] A continuación se ofrece una simplificación de la prueba de Lambert.
Escrita en 1873, esta prueba utiliza la caracterización de π como el menor número positivo cuya mitad es un cero de la función coseno y en realidad demuestra que π2 es irracional[3][4] Como en muchas pruebas de irracionalidad, es una prueba por contradicción.

¿es 22/7 un número racional?

Un alumno ha hecho esta pregunta hoy en clase, y no estaba seguro de la respuesta. Por un lado, dado que Pi es irracional en sí mismo, Pi/Pi no se ajusta a la definición de número racional (es decir, un número de la forma a/b donde a,b son ambos enteros, b no = a cero). Sin embargo, Pi/Pi es equivalente a 1, que es ciertamente racional. ¿Es más exacto decir que Pi/Pi es irracional (por definición), pero que es equivalente a un número racional? Eso parece problemático, ya que implica que un número puede ser racional e irracional al mismo tiempo.
Una mejor definición es que un número racional es un número que cuando se multiplica por algún entero no nulo da un resultado entero. Esta definición no requiere el paso innecesario de seleccionar el denominador que se utilizará en la representación racional.

Número irracional

Un alumno ha hecho hoy esta pregunta en clase, y yo no estaba seguro de la respuesta. Por un lado, dado que Pi es irracional en sí mismo, Pi/Pi no se ajusta a la definición de número racional (es decir, un número de la forma a/b donde a,b son ambos enteros, b no = a cero). Sin embargo, Pi/Pi es equivalente a 1, que es ciertamente racional. ¿Es más exacto decir que Pi/Pi es irracional (por definición), pero que es equivalente a un número racional? Eso parece problemático, ya que implica que un número puede ser racional e irracional al mismo tiempo.
Una mejor definición es que un número racional es un número que cuando se multiplica por algún entero no nulo da un resultado entero. Esta definición no requiere el paso innecesario de seleccionar el denominador que se utilizará en la representación racional.