Puntos en un plano

Dos planos se cruzan en un punto

Sé que es un axioma y se da por cierto, pero no entiendo la intuición que hay detrás. Entiendo que si tomo un punto o cualquier número de puntos colineales, entonces puedo dibujar infinitos planos simplemente girando alrededor de la línea que conecta estos puntos, pero ¿por qué necesitamos 3 puntos no colineales para definir un plano, por qué no más? ¿Y por qué, dados tres puntos no colineales, sólo pasa un plano por ellos? ¿Por qué no dos o tres?
Dos puntos determinan una línea (mostrada en el centro). Hay infinitos e infinitos planos que contienen esa línea. Sólo un plano pasa por un punto no colineal con los dos puntos originales:
Una analogía es el mismo problema es menor dimensión. Tomemos un punto en un plano. Hay infinitas líneas que pasan por él. Ahora tome un segundo punto diferente de la primera. Entonces hay una única línea entre las infinitas dadas que contiene los dos puntos.

Puntos colineales

El punto, la línea y el plano, junto con el conjunto, son los términos indefinidos que proporcionan el punto de partida de la geometría. Cuando definimos palabras, solemos utilizar palabras más sencillas, y estas palabras más sencillas se definen a su vez con palabras aún más sencillas. Este proceso tiene que terminar; en algún momento, la definición debe utilizar una palabra cuyo significado se acepte como intuitivo. Como ese significado se acepta sin definición, nos referimos a estas palabras como términos indefinidos. Estos términos se utilizarán para definir otros términos. Aunque estos términos no están formalmente definidos, es necesario hacer una breve discusión intuitiva.
Un punto es el objeto más fundamental de la geometría. Se representa con un punto y se denomina con una letra mayúscula. Un punto sólo representa la posición; tiene tamaño cero (es decir, longitud, anchura y altura cero). La figura 1 ilustra el punto C, el punto M y el punto Q.

Punto

En matemáticas, un plano es una superficie plana y bidimensional que se extiende infinitamente. Un plano es el análogo bidimensional de un punto (cero dimensiones), una línea (una dimensión) y el espacio tridimensional. Los planos pueden surgir como subespacios de algún espacio de mayor dimensión, como ocurre con una de las paredes de una habitación, que se extiende infinitamente, o pueden gozar de una existencia independiente por derecho propio, como en el entorno de la geometría euclidiana.
Cuando se trabaja exclusivamente en el espacio euclidiano bidimensional, se utiliza el artículo definido, por lo que el plano se refiere a todo el espacio. Muchas de las tareas fundamentales de las matemáticas, la geometría, la trigonometría, la teoría de grafos y los gráficos se realizan en un espacio bidimensional, a menudo en el plano.
Euclides estableció el primer gran hito del pensamiento matemático, un tratamiento axiomático de la geometría[1]. Seleccionó un pequeño núcleo de términos indefinidos (llamados nociones comunes) y postulados (o axiomas) que luego utilizó para demostrar diversas afirmaciones geométricas. Aunque el plano, en su sentido moderno, no se define directamente en ninguna parte de los Elementos, puede considerarse parte de las nociones comunes[2]. En este sentido, el plano euclidiano no es exactamente lo mismo que el plano cartesiano.

Ecuación de un avión en 3d

Tracie salió de Elmhurst, IL, para ir a Franklin Park. Por el camino, hizo algunas paradas para hacer recados. Cada parada se indica con un punto rojo en la figura siguiente. Colocando una cuadrícula de coordenadas rectangulares sobre el mapa, podemos ver que cada parada se alinea con una intersección de líneas de la cuadrícula. En esta sección, aprenderemos a utilizar las líneas de la cuadrícula para describir ubicaciones y cambios de ubicación.
Una vieja historia describe cómo el filósofo/matemático del siglo XVII René Descartes inventó el sistema que se ha convertido en la base del álgebra mientras estaba enfermo en la cama. Según la historia, Descartes estaba mirando una mosca que se arrastraba por el techo cuando se dio cuenta de que podía describir la ubicación de la mosca en relación con las líneas perpendiculares formadas por las paredes adyacentes de su habitación. Consideró las líneas perpendiculares como ejes horizontales y verticales. Además, al dividir cada eje en longitudes unitarias iguales, Descartes vio que era posible localizar cualquier objeto en un plano bidimensional utilizando sólo dos números: el desplazamiento desde el eje horizontal y el desplazamiento desde el eje vertical.