Que es una sumatoria

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Tengo bastante experiencia en programación y sé que la suma en matemáticas es similar a un bucle for: Ejecuta las operaciones especificadas durante $x$ cantidad de veces. Lo que quiero saber es cómo esto es útil en matemáticas. No veo qué efecto podría producir la ejecución recursiva de operaciones en matemáticas que pudiera ser diferente de hacerlo manualmente. ¿Por qué la variable que se incrementa en uno en cada bucle tiene que hacerlo? Actualmente estoy en 11º curso y en mi clase aún no se ha tocado este tema, pero lo he visto en esta página una gran cantidad de veces y me gustaría saber más sobre él.
Hay muchas fórmulas en las que una operación se repite una y otra vez. La suma y la multiplicación son tan comunes que tenemos las correspondientes notaciones de suma y producto. Son formas convenientes de dar expresiones compactas para varias fórmulas.
Por cierto, la analogía con los bucles for es buena. Sin embargo, los bucles for permiten repetir una gran cantidad de operaciones. Las notaciones de sumas y productos son mucho más especializadas (tanto las sumas como los productos pueden calcularse utilizando bucles for). Además, no todos los bucles for incrementan el índice en 1 cada vez. La mayoría de los lenguajes de programación permiten incrementos más complicados. Del mismo modo, las sumas y los productos se hacen a veces sobre conjuntos (distintos de ${1,2,\dots,n}$).

Que es una sumatoria online

En matemáticas, la suma es la adición de una secuencia de números de cualquier tipo, llamados sumandos; el resultado es su suma o total. Además de los números, también se pueden sumar otros tipos de valores: funciones, vectores, matrices, polinomios y, en general, elementos de cualquier tipo de objetos matemáticos sobre los que se defina una operación denominada «+».
La suma de una secuencia explícita se denota como una sucesión de sumas. Por ejemplo, la suma de [1, 2, 4, 2] se denota 1 + 2 + 4 + 2, y da como resultado 9, es decir, 1 + 2 + 4 + 2 = 9. Como la adición es asociativa y conmutativa, no se necesitan paréntesis y el resultado es el mismo independientemente del orden de los sumandos. La suma de una secuencia de un solo elemento da como resultado este mismo elemento. La suma de una secuencia vacía (una secuencia sin elementos), por convención, da como resultado 0.
Muy a menudo, los elementos de una secuencia se definen, mediante un patrón regular, en función de su lugar en la secuencia. Para los patrones simples, la suma de secuencias largas puede representarse con la mayoría de los sumandos sustituidos por elipses. Por ejemplo, la suma de los 100 primeros números naturales puede escribirse como 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100. En caso contrario, la suma se denota utilizando la notación Σ, donde

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En matemáticas, la suma es la adición de una secuencia de números de cualquier tipo, llamados sumandos; el resultado es su suma o total. Además de los números, también se pueden sumar otros tipos de valores: funciones, vectores, matrices, polinomios y, en general, elementos de cualquier tipo de objetos matemáticos sobre los que se defina una operación denominada «+».
La suma de una secuencia explícita se denota como una sucesión de sumas. Por ejemplo, la suma de [1, 2, 4, 2] se denota 1 + 2 + 4 + 2, y da como resultado 9, es decir, 1 + 2 + 4 + 2 = 9. Como la adición es asociativa y conmutativa, no se necesitan paréntesis y el resultado es el mismo independientemente del orden de los sumandos. La suma de una secuencia de un solo elemento da como resultado este mismo elemento. La suma de una secuencia vacía (una secuencia sin elementos), por convención, da como resultado 0.
Muy a menudo, los elementos de una secuencia se definen, mediante un patrón regular, en función de su lugar en la secuencia. Para los patrones simples, la suma de secuencias largas puede representarse con la mayoría de los sumandos sustituidos por elipses. Por ejemplo, la suma de los 100 primeros números naturales puede escribirse como 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100. En caso contrario, la suma se denota utilizando la notación Σ, donde

Calculadora de notación de sumas

En la sección anterior, hemos introducido las secuencias y ahora presentaremos la notación y los teoremas relativos a la suma de términos de una secuencia. Comenzamos con una definición que, aunque intimidante, pretende facilitarnos la vida.
Dada una sucesión \(\left{ a_{n} \right}_{n=k}^{infty}\) y unos números \(m\) y \(p\) que satisfacen \(k \leq m \leq p\), el sumatorio desde \(m\) hasta \\\\ de la sucesión \(\left{a_{n}right}\) se escribe
La variable \(n\) se llama índice de la suma. El número \(m\) se llama \index{notación de la suma} {límite inferior de la suma} \textbf{límite inferior de la suma} mientras que el número \(p\) se llama límite superior de la suma.
En inglés, la definición \ref{sigmanotación} es simplemente la definición de una notación de mano corta para sumar los términos de la secuencia \(\left{ a_{n} \right}_{n=k}^{infty}\) desde \(a_{m}\) hasta \(a_{p}\). El símbolo \(\Sigma) es la letra griega mayúscula sigma y es la abreviatura de `suma’. Los límites inferior y superior de la suma nos indican con qué término empezar y con qué término terminar, respectivamente. Por ejemplo, utilizando la secuencia \(a_{n} = 2n-1\) para \(n \geq 1\), podemos escribir la suma \(a_{mbox{\tiny)3\)}} +a_{\mbox{\tiny\)4\)}} + a_{mbox{tiny)5}} + a_{mbox{tiny)6)}} como