Teorema de la altura

Teorema de la pierna

El teorema de la altitud del triángulo rectángulo o teorema de la media geométrica es un resultado de la geometría elemental que describe una relación entre las longitudes de la altitud en la hipotenusa de un triángulo rectángulo y los dos segmentos de recta que crea en la hipotenusa. Afirma que la media geométrica de los dos segmentos es igual a la altitud.
Esta última versión da lugar a un método para cuadrar un rectángulo con regla y compás, es decir, para construir un cuadrado de igual área que un rectángulo dado. Para tal rectángulo con lados p y q denotamos su vértice superior izquierdo con D. Ahora extendemos el segmento q a su izquierda por p (usando el arco AE centrado en D) y dibujamos un semicírculo con puntos extremos A y B con el nuevo segmento p+q como su diámetro. A continuación, erigimos una línea perpendicular al diámetro en D que intersecte al semicírculo en C. Debido al teorema de Tales, C y el diámetro forman un triángulo rectángulo con el segmento de línea DC como su altitud, por lo que DC es el lado de un cuadrado con el área del rectángulo. El método también permite la construcción de raíces cuadradas (ver número construible), ya que partiendo de un rectángulo que tiene una anchura de 1 el cuadrado construido tendrá una longitud de lado que es igual a la raíz cuadrada de la longitud del rectángulo[1].

Prueba del teorema de la hipotenusa

En el álgebra conmutativa, el teorema del ideal principal de Krull, llamado así por Wolfgang Krull (1899-1971), da una cota sobre la altura de un ideal principal en un anillo noetheriano conmutativo. El teorema se conoce a veces por su nombre en alemán, Krulls Hauptidealsatz (Satz significa «proposición» o «teorema»).
Este teorema puede generalizarse a los ideales que no son principales, y el resultado suele llamarse teorema de la altura de Krull. Este teorema dice que si R es un anillo noetheriano e I es un ideal propio generado por n elementos de R, entonces cada primo mínimo sobre I tiene una altura máxima de n. Lo contrario también es cierto: si un ideal primo tiene una altura n, entonces es un ideal primo mínimo sobre un ideal generado por n elementos[1].
El teorema del ideal principal y su generalización, el teorema de la altura, se derivan del teorema fundamental de la teoría de la dimensión en el álgebra conmutativa (véase también más abajo las pruebas directas). El Álgebra Conmutativa de Bourbaki ofrece una demostración directa. El libro Commutative Rings de Kaplansky incluye una prueba debida a David Rees.

Altitude theorem formula

Before stating and deducing these theorems, let us remember some basic concepts of proportionality to understand what we can solve with the constructions derived from these geometric models.
We can obtain a right triangle using as hypotenuse a diameter of a circle, and as opposite vertex a point of the same, since it determines an arc capable of 90 degrees on that diameter.
If we obtain the height h of the triangle from the right angle (vertex A) and determine its intersection H with the hypotenuse (foot of the height) we can determine three similar right triangles:

Teorema de la media geométrica (pierna)

Masser, David. «Apéndice C: Teorema de la altura limitada de Silverman para curvas elípticas: A Direct Proof». Algunos problemas de intersecciones improbables en aritmética y geometría (AM-181), Princeton: Princeton University Press, 2012, pp. 138-139. https://doi.org/10.1515/9781400842711.138
Masser, D. (2012). Apéndice C: Silverman’s Bounded Height Theorem for Elliptic Curves: A Direct Proof. En Algunos problemas de intersecciones improbables en aritmética y geometría (AM-181) (pp. 138-139). Princeton: Princeton University Press. https://doi.org/10.1515/9781400842711.138
Masser, D. 2012. Apéndice C: Teorema de altura limitada de Silverman para curvas elípticas: A Direct Proof. Algunos problemas de intersecciones improbables en aritmética y geometría (AM-181). Princeton: Princeton University Press, pp. 138-139. https://doi.org/10.1515/9781400842711.138
Masser, David. «Appendix C: Silverman’s Bounded Height Theorem for Elliptic Curves: A Direct Proof» En Some Problems of Unlikely Intersections in Arithmetic and Geometry (AM-181), 138-139. Princeton: Princeton University Press, 2012. https://doi.org/10.1515/9781400842711.138