Antecedentes del calculo infinitesimal

Antecedentes del calculo infinitesimal

Gottfried wilhelm leibniz

El cálculo, originalmente llamado cálculo infinitesimal o «cálculo de los infinitesimales», es el estudio matemático del cambio continuo, del mismo modo que la geometría es el estudio de la forma y el álgebra es el estudio de las generalizaciones de las operaciones aritméticas.
Tiene dos ramas principales, el cálculo diferencial y el cálculo integral; el primero se ocupa de las tasas de cambio instantáneas y de las pendientes de las curvas, mientras que el cálculo integral se ocupa de la acumulación de cantidades y de las áreas bajo o entre curvas. Estas dos ramas están relacionadas entre sí por el teorema fundamental del cálculo, y utilizan las nociones fundamentales de convergencia de secuencias infinitas y series infinitas a un límite bien definido[1].
El cálculo infinitesimal fue desarrollado de forma independiente a finales del siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz.[2][3] En la actualidad, el cálculo tiene un amplio uso en la ciencia, la ingeniería y la economía[4].
En la enseñanza de las matemáticas, el cálculo designa los cursos de análisis matemático elemental, dedicados principalmente al estudio de las funciones y los límites. La palabra cálculo (plural calculi) es una palabra latina, que significa originalmente «guijarro pequeño» (este significado se mantiene en medicina – véase Cálculo (medicina)). Dado que estos guijarros se utilizaban para contar (o medir) la distancia recorrida por los aparatos de transporte que se utilizaban en la antigua Roma,[5] el significado de la palabra ha evolucionado y hoy suele significar un método de cálculo. Por tanto, se utiliza para nombrar métodos específicos de cálculo y teorías relacionadas, como el cálculo proposicional, el cálculo de Ricci, el cálculo de variaciones, el cálculo lambda y el cálculo de procesos.

Antecedentes matemáticos

El cálculo, conocido en sus inicios como cálculo infinitesimal, es una disciplina matemática centrada en los límites, la continuidad, las derivadas, las integrales y las series infinitas. Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron independientemente la teoría del cálculo infinitesimal a finales del siglo XVII. A finales del siglo XVII, tanto Leibniz como Newton afirmaron que el otro había robado su trabajo, y la controversia sobre el cálculo Leibniz-Newton continuó hasta la muerte de Leibniz en 1716.
La época antigua introdujo algunas de las ideas que condujeron al cálculo integral, pero no parece haber desarrollado estas ideas de forma rigurosa y sistemática. Los cálculos de volúmenes y áreas, uno de los objetivos del cálculo integral, se encuentran en el papiro egipcio de Moscú (c. 1820 a.C.), pero las fórmulas sólo se dan para números concretos, algunas sólo son aproximadamente verdaderas y no se derivan por razonamiento deductivo[1] Los babilonios pueden haber descubierto la regla trapezoidal mientras hacían observaciones astronómicas de Júpiter.

Retroalimentación

Los problemas que dieron inicio al cálculo infinitesimal, se presentan en la época clásica griega (siglo III a. C.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de solución hasta después de 20 siglos (siglo XVII). Los matemáticos perdieron el miedo a que los griegos tuvieran los infinitos: Kepler y Cavallieri fueron los primeros en utilizarlo; tomaron el camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.
A mediados del siglo XVII las cantidades infinitesimales se utilizaron cada vez más para resolver problemas de cálculo de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían lugar al cálculo diferencial, los otros al cálculo integral. A finales del siglo XVII Newton y Leibniz sintetizaron en dos conceptos, los métodos utilizados por sus predecesores, que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para trabajar las derivadas «reglas de derivación» y demostraron que ambos conceptos eran inversos «teorema fundamental del cálculo».
En Cambridge Inglaterra, desarrolló su propio método para el cálculo tangencial, en 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas, que coincide con el descubierto por Fermat. A finales de 1665, se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, e introdujo el concepto de «fluxión», sombrero para él era la velocidad con una variable «fluye» y «varía» con el tiempo.

Historia del cálculo

Término que antiguamente incluía varias ramas del análisis matemático relacionadas con el concepto de función infinitamente pequeña. Aunque el método de las «funciones infinitamente pequeñas» había sido empleado con éxito en diversas formas por los científicos de la Antigua Grecia y de Europa en la Edad Media para resolver problemas de geometría y de ciencias naturales, las definiciones exactas de los conceptos fundamentales de la teoría de las funciones infinitamente pequeñas no se establecieron hasta el siglo XIX. Para comprender la importancia de este método, hay que señalar que no era el cálculo infinitesimal en sí mismo lo que tenía importancia práctica, sino sólo los casos en los que su uso daba lugar a cantidades finitas. Tres tipos de problemas de este tipo fueron especialmente importantes en la historia de las matemáticas.
1) Los problemas más simples, resueltos por los matemáticos de la antigua Grecia por el método de agotamiento (cf. Método de agotamiento), en los que las cantidades infinitesimales se utilizan simplemente para demostrar que dos magnitudes dadas (o dos relaciones entre magnitudes dadas) son iguales.